ｎ⁴＋４が素数でないことを示せ。
こんにちは！Taonpio_0707です！！
今日も１投稿１問で問題を出していきたいと思います。
今日の問題！
まさかの２投稿連続の整数問題です(笑)
完全に整数問題の虜になってしまいましたが、やっていきましょう！！
整数問題でよく出てくるのは証明問題ですよね、今回は証明ではなく、「示せ」という問題なので、あまり堅苦しい日本語は用いずにやっていきます。
前にも言った通り、整数問題は数をこなさないとできるようにはなりません。。なので、わかんない問題があっても、解説を見てしっかり理解し、同じ問題が出てきたときに解けるようになっていることが大切です(o^―^o)
解説編
それではさっそく、解説していきましょう！！
まず、この問題では素数ではないことを示さなければいけません。
そもそも、素数の定義は
つまり、
という形にすることで、素数ではない証明になります。
そして、この手の問題では、式変形が必要です。したがって、ｎ⁴＋４を最終的に（１以外の自然数）×（１以外の自然数）の形に変形することが求められています。
ここからが難しいところなのですが、ｎ⁴＋４という式を見たとき
ｎ⁴＋４ｎ²＋４－４ｎ²
と、すぐに思いつけるかが重要になってきます。こういう式変形をする理由としては、ｎ⁴＋４という式が因数分解ぐらいしか式変形できないからです。
（たとえば、２乗－２乗の形であれば、和と差の積の形にも変形が思いつくのですが、そのような特別な形以外では、因数分解を心掛けるとよりスムーズに問題が解けると思います。）
そしてこの式から因数分解を進めると
ｎ⁴＋４ｎ²＋４－４ｎ²
(ｎ²＋２)²－４ｎ²
{(ｎ²＋２)＋２ｎ}{(ｎ²＋２)－２ｎ}
(ｎ²＋２ｎ＋２)(ｎ²－２ｎ＋２)
{(ｎ＋１)²＋１)}{(ｎ－１)²＋１)}
最終的に {(ｎ＋１)²＋１)}{(ｎ－１)²＋１)} という式に変形することができました。
そして、ｎが２以上のとき
{(ｎ＋１)²＋１)}と、{(ｎ－１)²＋１)}はそれぞれ１以外の自然数になります。
つまり、最初のほうで言った（１以外の自然数）×（１以外の自然数）という形なので、素数ではないことが分かりました。
いかがでしたでしょうか？
今回の問題のように式変形を要する問題はたくさんありますが、最初のほうは難しいかもしれません、こういった問題こそ何回も繰り返し演習することでできるようになっていくと思います。
最後に、よければ皆さんの数学の得意科目を知りたいのでアンケートに答えていただくと嬉しいです！！※1分で終わります
最後まで読んでいただきありがとうございました。
今日はこんな感じで！
