ｎ⁴＋４が素数でないことを示せ。
こんにちは！Taonpio_0707です！！
今日も１投稿１問で問題を出していきたいと思います。
今日の問題！
まさかの２投稿連続の整数問題です(笑)
完全に整数問題の虜になってしまいましたが、やっていきましょう！！
整数問題でよく出てくるのは証明問題ですよね、今回は証明ではなく、「示せ」という問題なので、あまり堅苦しい日本語は用いずにやっていきます。
前にも言った通り、整数問題は数をこなさないとできるようにはなりません。。なので、わかんない問題があっても、解説を見てしっかり理解し、同じ問題が出てきたときに解けるようになっていることが大切です(o^―^o)
解説編
それではさっそく、解説していきましょう！！
まず、この問題では素数ではないことを示さなければいけません。
そもそも、素数の定義は
つまり、
という形にすることで、素数ではない証明になります。
そして、この手の問題では、式変形が必要です。したがって、ｎ⁴＋４を最終的に（１以外の自然数）×（１以外の自然数）の形に変形することが求められています。
ここからが難しいところなのですが、ｎ⁴＋４という式を見たとき
ｎ⁴＋４ｎ²＋４－４ｎ²
と、すぐに思いつけるかが重要になってきます。こういう式変形をする理由としては、ｎ⁴＋４という式が因数分解ぐらいしか式変形できないからです。
（たとえば、２乗－２乗の形であれば、和と差の積の形にも変形が思いつくのですが、そのような特別な形以外では、因数分解を心掛けるとよりスムーズに問題が解けると思います。）
そしてこの式から因数分解を進めると
ｎ⁴＋４ｎ²＋４－４ｎ²
(ｎ²＋２)²－４ｎ²
{(ｎ²＋２)＋２ｎ}{(ｎ²＋２)－２ｎ}
(ｎ²＋２ｎ＋２)(ｎ²－２ｎ＋２)
{(ｎ＋１)²＋１)}{(ｎ－１)²＋１)}
最終的に {(ｎ＋１)²＋１)}{(ｎ－１)²＋１)} という式に変形することができました。
そして、ｎが２以上のとき
{(ｎ＋１)²＋１)}と、{(ｎ－１)²＋１)}はそれぞれ１以外の自然数になります。
つまり、最初のほうで言った（１以外の自然数）×（１以外の自然数）という形なので、素数ではないことが分かりました。
いかがでしたでしょうか？
今回の問題のように式変形を要する問題はたくさんありますが、最初のほうは難しいかもしれません、こういった問題こそ何回も繰り返し演習することでできるようになっていくと思います。
最後に、よければ皆さんの数学の得意科目を知りたいのでアンケートに答えていただくと嬉しいです！！※1分で終わります
最後まで読んでいただきありがとうございました。
今日はこんな感じで！
整数問題は好きですか？
こんにちは！Taonpio_0707です！！
勉強のため期間が空きましたが、ちょっとずつブログのほうも投稿していきたいと思います(笑)
これからのブログの内容について考えたのですが、
そのブログに関するつぶやきに加えて、勉強している人にも閲覧していただくために
1ブログにつき1問とその解説を載せていこうと思います！！
よかったら解いてみてくださいね(笑)
早速ですが、今回の問題
いきなりですが、整数問題です(笑)
整数問題って本当に好き嫌い分かれますよね～
個人的には整数問題は好きなんですが、難しい大学の入試問題とかを見ていると難しすぎて萎えます(笑)
皆さんは整数問題好きですか？皆さんの意見も聞きたいです(笑)
<解説編>
整数問題といえばmod（合同式）ですよね！！
整数問題が好きな人も多くの人がこの合同式が好きなのではないでしょうか？
今回の問題は、その合同式を使って解く問題をチョイスしました。
慣れてる方にとっては簡単だったでしょうか？
それでは解説していきます。
そもそも、合同式とは、ある整数で割った余りが等しい数を「＝」に一本の線を足した「≡」（コングルエント）という記号でしきをつくるものです。
まぁ、分譲で説明してもわからないので、実際に記号を使って説明したいと思います。
すでに理解してる方はここをスキップしてください(笑)
例えば、自然数aがあったとします。
aを7で割ると1余る数であると仮定し、それを合同式で表すと
a≡1 (mod7) と表せることができます。
また、両辺に２乗することで、
a²≡1² (mod7)
と表すことができます。このときの指数は同じならなんでも大丈夫です。
ここから問題の解説をしていきます！！
下２桁が知りたい⇒１００で割った余りが知りたい！
つまり、mod100の合同式を考えることが必要です。
ここで重要なのは下二桁が01になる７の累乗を探すことです。
この理由は下で書きますが、7の累乗の中で下二桁が01になるのは、
7⁴=2401
つまり、合同式を使うと、
7⁴≡1 (mod100)
となります。
ここで、下二桁が01を見つけることで、その数を何乗してもあまりは１になることが、合同式からわかります。つまり、
(7⁴)⁶²≡1⁶² (mod100)
7²⁴⁸≡1 (mod100)
7²⁴⁸×7³≡1×7³ (mod100) ー①
7³＝343 より、 7³≡43 (mod100) ー②
①②より、
7²⁵¹≡7³≡43 (mod100)
答えは 43 です。
最後説明を端折りましたが、できましたでしょうか？
すでに分かっている人にとっては簡単かもしれませんが、これから習うよって人にとっては難しかったかもしれません...
もし質問があれば、コメントなり、Twitter(@openpen1151)なり気軽に聞いてください(笑)
整数問題はできるようになってくると面白くなるので、皆さんも頑張ってできるようになりましょう(笑)
最後に、よければ皆さんの数学の得意科目を知りたいのでアンケートに答えていただくと嬉しいです！！※1分で終わります
最後まで読んでいただきありがとうございました。
今日はこんな感じで！
はじめの一歩 「これからよろしくお願いします」
はじめまして、過年度生のTaonpio_0707です。
興味本位でブログをはじめてみました✨
これから、勉強の合間を使って、息抜きにブログを書いていきたいと思います。
よろしくお願いします！！
一発目の投稿なので、簡単に自己紹介をしたいと思います。
私は、過年度生で毎日勉強に追われていますw（汗
趣味は、映画を見ることで、MARVEL系の映画をよく見ます。
MARVELは男のロマンですよね～！毎回見るたびに遊び心をくすぐられます！w
趣味といえば「カフェ巡り」ってありますよね？
私は、あまりカフェに行かない人間なのですが、カフェ巡りに憧れがあるんですw
よく友達がインスタグラムでストーリーにカフェの写真を投稿しているんですが、それを見ると、私も行きたいな～ってなりますw
って、こんな感じで書いてみましたが、意外と思ったことを文章化するのって難しいですね。始める前は、ブログに書けるような面白いことが思いついても、実際に文字にすると思った感じに伝えることができない感じがします。これから勉強していきたいと思います！！
これから、見てて面白いブログを書けるように頑張りたいと思います！！
もしこのブログを見てくれた人がいましたら、ぜひこれから先も見ていただくと嬉しいです！！よろしくお願いします！！
今日はこんな感じで！
